مشاهده / بستن موضوعات

روش اسپلاین غیرچندجمله ای درجه پنجم برای حل عددی مسائل حساب تغییرات

دسته بندی: ریاضیات
1179 بازدید

     در این پایان­نامه یک مسئله حساب تغییرات با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ تبدیل به مسئله مقدار مرزی می­شود و سپس این مسئله مقدار مرزی با استفاده از اسپلاین غير چند جمله‌اي كه به درجه پنجم تقليل مي‌يابد، حل می­شود و یک روش عددی از مرتبه شش بدست می­آید و همگرایی روش نیز بحث شده است و مثالهای عددی ارائه گردیده است که شامل مطالب زیر است:

   در فصل اول به ارائه تعاریف وتاریخچه مسئله حساب تغییرات پرداخته شده وهمچنین چگونگی بوجود آمدن مسئله مقدار مرزی از حساب تغییرات بررسی شده است و نیز مثالهایی از این نوع مسائل آورده شده است.

   در فصل دوم تاریخچه تعریف اسپلاین و تاریخچه به­کارگیری اسپلاین در حل معادلات دیفرانسیل بحث شده و همچنین روابط سازگار اسپلاین مثلثاتی که به اسپلاین درجه سوم تقلیل می­یابد آورده شده است.

   در فصل سوم موضوع اصلی تحقیق که یافتن رابطه اسپلاین غیر­چند­جمله­ای كه به درجه پنجم تقلیل مي‌يابد، محاسبه خطا و آنالیز همگرایی روش می­باشد بررسی شده است.

   در فصل چهارم با استفاده از روابط بدست آمده در فصل سوم به حل عددی مسئله حساب تغییرات پرداخته و نتایج عددی آورده شده و بالاخره نتایج و پیشنهاداتی آورده شده که می­تواند مورد استفاده پژوهشگران قرار گیرد.

 97صفحه فایل ورد (Word) فونت 14 منابع دارد  قیمت 17000 تومان

 

پس از پرداخت آنلاین میتوانید فایل کامل این پروژه را دانلود کنید

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                            صفحه

فصل اول: مقدمه و کلیات

1-1-        مقدمه .................................................................................................................................2

1-2-        آنالیز عددی........................................................................................................................3

1-3-        درونیابی...............................................................................................................................4  

1-4-        معادله دیفرانسیل................................................................................................................4

1-5-        ماتریس...............................................................................................................................10

1-6-        بسط تیلور..........................................................................................................................11

1-7-        خطای برشی......................................................................................................................12

1-8-        فانکشینال...........................................................................................................................12

1-9-        معادله اویلر- لاگرانژ.......................................................................................................12

1 -10- حساب تغییرات.................................................................................................................13

فصل دوم: مروری بر پیشینه تحقیق

2-1- مقدمه ...............................................................................................................................29    

2-2- تاریخچه تعریف اسپلاین .................................................................................................30

2-3- تاریخچه به­کارگیری اسپلاین در حل معادلات دیفرانسیل .......................................32

2-4- تعریف اسپلاین ریاضی.....................................................................................................34

2-5- تابع اسپلاین غیرچندجمله­ای درجه سه...........................................................................35

 


فهرست مطالب

عنوان                                                                                                             صفحه

فصل سوم: تجزیه و تحلیل اسپلاین غیرچندجمله­ای درجه پنجم

3-1- مقدمه..................................................................................................................................42

3-2- تابع اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله­ای.....................................................................43

3-3- حل عددی معادله مرتبه دوم..........................................................................................49

3-4- آنالیز همگرایی.................................................................................................................56

3-5- محاسبه خطا......................................................................................................................62

فصل چهارم: نتایج عددی

4-1- مقدمه.................................................................................................................................67

4-2- حل عددی مسئله حساب تغییرات.................................................................................68

4-3- مثال­هایی از حساب تغییرات...........................................................................................68

4-4- نتیجه­گیری........................................................................................................................83

منابع..............................................................................................................................................84

 

 

 

 

فهرست جداول

عنوان                                                                                                             صفحه

جدول 1-1:جدول جواب برای مثال عددی حل عددی دستگاه به روش نیوتن.................................................. 9

جدول 4-1: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال 1....................................................................................71

جدول 4-2: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال 2 ..................................................................................75

جدول 4-3: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال 3 ..................................................................................78

جدول 4-4: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال 4 ..................................................................................81

 

 

 

 

 

 


 

 

 

فصل اول

مقدمه و کلیات

 

 

 

 

 

 

 

 

 


1-1-       مقدمه

     فصل حاضر به ارائه تعاریف و مفاهیمی می‌پردازد که در سراسر تحقیق مورد استفاده قرار می‌گیرند. ابتدا تعاریفی از آنالیز عددی[1] و درونیابی[2] ارائه می‌شود. سپس تعاریفی از معادلات دیفرانسیل[3] که به جهت تجزیه و تحلیل مسائل حساب تغییرات[4] به این عرصه وارد شده‌اند، صورت خواهند گرفت و به دنبال آن انواع ماتریس‌ها[5] مطالعه می‌شود. بعد از آن به مسئله حساب تغییرات و حل مثالهایی از این نوع مسئله، پرداخته می‌شود.

     فصل دوم به مروری در خصوص تاریخچه و پیشینه‌ای از تحقیقات صورت گرفته اختصاص دارد. همچنین تاریخچه به کارگیری اسپلاین[6] در حل معادلات دیفرانسیل معرفی می‌گردد و در آخر تابع اسپلاین درجه سه غیرچند جمله‌ای[7] شرح داده می‌شود.

     در فصل سوم ابتدا به تجزیه و تحلیل تابع اسپلاین درجه پنجم[8] غیرچندجمله‌ای پرداخته می‌شود و فرمول اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله‌ای به دست می‌آید و پس از آن آنالیز همگرایی[9] روش بحث می‌شود و سپس به محاسبه خطای[10] این نوع اسپلاین پرداخته می‌شود.

     در نهایت، فصل آخر هم به حل عددی مسئله حساب تغییرات پرداخته می‌شود و همچنین برخی منابع به جهت مطالعه موضوعات مرتبط با تحقیق ارائه می‌شود که می‌تواند کمکی به شروع تحقیقات آینده باشد.

مطالب این فصل با توجه به منابع شماره33،30،21،19،14،13،12،11،10،9،8،7،6،5،3،2،1 ارايه شده است.


1-2-       آنالیز عددی

     آنالیز عددی الگوریتم حل مسئله در ریاضیات پیوسته (ریاضیاتی که بعد از ریاضیات گسسته است) را مورد مطالعه قرار می‌دهد. آنالیز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق می‌شود، می‌پردازد. تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقاّ با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال روش حذف گاوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود. چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.

     تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترین قسمت‌های آنالیز عددی است. این خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد. چون به هر حال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روشهای مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می‌آید. در آنالیز عددی می‌توان مقدار خطا را در خود روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

     الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می‌شود. همچنین اکثر ابر رایانه‌ها به طور مداوم براساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی، آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می‌کند.

1-3- درونیابی[11]

     در آنالیز عددی، درونیابی یک روش ساختن نقاط فرض شده جدید از یک مجموعه مجزا از نقاط داده شده معلوم است. یک مسئله متفاوت که تقریباّ مربوط به درونیابی است، تقریبی از یک تابع پیچیده توسط یک تابع ساده است. انواع مختلفی از درونیابی در ریاضیات وجود دارد. برای مثال: درونیابی ثابت تکه‌ای[12]، درونیابی خطی[13]، درونیابی چندجمله‌ای[14]، درونیابی اسپلاین[15]، درونیابی بوسیله فرآیند گاوس[16].

1-3-1- درونیابی اسپلاین

     درونیابی اسپلاین از چندجمله‌ای درجه پایین در هر بازه استفاده می‌کند و قطعه‌های چندجمله‌ای انتخاب می‌کند بطوریکه آنها، با همدیگر به طور یکنواخت متناسب باشند.

1-4-     معادله دیفرانسیل[17]

     هر رابطه بین متغیر تابع و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل می‌نامند.

1-4-1- معادله دیفرانسیل معمولی[18]

     اگر یک معادله دیفرانسیل فقط یک متغیر تابع و یک متغیر مستقل داشته باشد، معادله دیفرانسیل را معمولی گویند. بنابراین فرم کلی یک معادله دیفرانسیل معمولی به صورت زیر است:


1-4-2- مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم[19]

     معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ، ، با شرایط مرزی را مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم می‌نامیم.

1-4-3- دستگاه معادلات غیرخطی[20]

     شکل کلی یک دستگاه از معادلات غیرخطی عبارت است از:

     که در آن هر فضایبعدی را به توی خط حقیقی می‌نگارد.

1-4-4- حل عددي دستگاه معادلات غيرخطي

     فرض كنيد براي تابعي غيرخطي از به باشد در دستگاه معادلات غير خطي زير:

هدف به دست آوردن نقطه‌اي مانند است، به گونه‌اي كه در همه‌ي معادله‌هاي دستگاه بالا صدق كند.

تابع از به را به صورت زير تعریف مي‌كنيم:

كه در آن برداري در است. پس دستگاه به شكل زير است:

و ما به دنبال بردار هستيم، به گونه‌اي كه داشته باشيم .

تعريف: مجموعه‌ي را محدب مي‌گوييم، هر گاه براي هر دو نقطه‌ي y,x متعلق به و براي هر داشته باشيم:

تعريف: هرگاه عددي صحيح و نامنفي بوده و همچنين زير مجموعه‌اي از باشد، مجموعه‌ي تابع‌هايي از به را كه مشتقام آن‌ها پيوسته است با نشان مي‌دهيم.

تعريف: ماتريس ژاكوبين تابع را در نقطه‌ي با نشان مي‌دهيم، به گونه‌اي كه:

1-4-5- روش نيوتن

     فرض کنید . همچنین فرض کنید ، جواب دقیق دستگاه F(x)=0 باشد، پس .

براي عدد صحيح نامنفی را بردار به دست آمده از روش نيوتن در مرحله‌ي ام در نظر مي‌گيريم و مي‌دانيم بسط تيلور تابع چند متغيره‌ي F عبارت است از:

قرار مي‌دهيم پس:

هرگاه به اندازه‌ي كافي به نزديك باشد، مي‌توانيم قرار دهيم:

پس اگر ماتريسي نامنفرد باشد، داريم:

اينك بردار جديد را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:

 

پس در حالت كلي، در اين روش با انتخاب بردار اوليه‌ي براي تا زماني كه شرط توقف برقرار شود، نخست دستگاه:

را حل كرده و سپس قرار مي‌دهيم:

مثال : براي دستگاه دو معادله و دو مجهول غيرخطي:

جواب دقيق دستگاه است، اينك قرار مي‌دهيم:

ماتريس ژاكوبي تابع بالا عبارت است از: ....................................

 

 

بلافاصله بعد از پرداخت موفق میتوانید فایل کامل این پروژه را با سرعت و امنیت دانلود کنید

قیمت اختصاصی و استثنایی این پروژه در پایان نامه دات کام : تنها , 17000 تومان

 

 

 

قیمت قبلی : 250000 ریال

قیمت جدید : 17000 تومان  |   جهت خرید محصول بر روی تصویر روبرو کلیک نمایید :

خرید آنلاین این مطلب





0 نظر
نام:*
ایمیل:*
متن نظر:
پررنگ کج خط دار خط دار در وسط | سمت چپ وسط سمت راست | قرار دادن شکلک قراردادن لینکقرار دادن لینک حفاظت شده انتخاب رنگ | پنهان کردن متن قراردادن نقل قول تبدیل نوشته ها به زبان روسی قراردادن Spoiler
کد را وارد کنید: *


تماس با ما
کد تماس با ما